前（fei）言（hua）

我们数学老师讲了多面体欧拉定理之后，说世界上只有 5 种正多面体——正四面体、正六面体（正方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体，而不存在正 114514 面体（当然这句话是我自己说的），感兴趣的同学可以课后尝试证明。

为了不让我宝贵的青春、宝贵的生命浪费在期中考试后意义不明的晚自习中，我在此期间探索证明了世界上确实不存在正 114514 面体。

正文

多面体欧拉定理

对于一个多面体，记其顶点数为 $V$ (Vertex)，棱数为 $E$ (Edge)，面数为 $F$ (Flat surface)，则有：

$$
V+F-E=2
$$

这个我不知道怎么证 这个这里不多赘述。

正多面体的定义

正多面体，是指多面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角。

——百度百科

证明

设一个正 $F$ 面体，顶点数为 $V$，棱数为 $E$（$F,V,E \in \mathbb{N}^*$），每个面为一个正 $n$ 边形（$n \in \mathbb{Z}, n \ge 3$）。

它的每个面都有 $n$ 条边，每条边都作为一条棱，被两个面共用，则有：

$$
E = \frac{1}{2}nF
$$

记正 $n$ 边形的一个内角为 $\alpha$，则有：

$$
\alpha = \pi - \frac{2\pi}{n} = \frac{n-2}{n}\pi
$$

设每个顶点被 $m$ 个面共用（$m \in \mathbb{Z}, m \ge 3$）。要想让一个顶点上连的面能够折成立体，那把每面平铺下来必须转不满一圈，即：

$$
m\alpha < 2\pi
$$

将 $\alpha = \frac{n-2}{n}\pi$ 代入，整理得：

$$
m < 2 + \frac{4}{n-2}
$$

在 $m \in \mathbb{Z}, m \ge 3$ 的限制条件下，取不同的 $n$ 的值，解这个不等式：

这样，我们就得到了有限种情况。（聪明的宝宝已经预感到正 114514 面体不存在了）废话

每一面有 $n$ 个顶点，而每个顶点被 $m$ 个面共用，则有：

$$
V = \frac{nF}{m}
$$

现在，代入多面体欧拉定理：

$$
V+F-E=2
$$

$$
\frac{nF}{m} + F - \frac{1}{2}nF = 2
$$

整理，得：

$$
F = \frac{4m}{2m+2n-mn}
$$

将上面得到的 $m,n$ 的取值分别代入，得：

由上表得，只存在 5 种正多面体——正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。

所以，不存在正 114514 面体。

Quod Erat Demonstrandum Miau~